Sprendžiant grynai matematiškai:
a) Sausis turi 31 dieną;
b) 01.01. - 10 šypsenų;
c) Per sausį teoriškai turėtų būti išdalinta - 3.088.366.981.419.730 šypsenų (geometrinė progresija - kas dieną išdalintų šypsenų skaičius padidėja tris kartus, ir pagal sąlygą reikia suskaičiuoti kiek šypsenų buvo išdalinta per visą sausio mėn.)


Jeigu įtraukiant truputi logikos:
d) Sausio 20 dieną nebeliks žmonių, kuriems nebus nusišypsota nes turėtų būti 11.622.614.670 šypsenų.

Pirmą dieną nusišypsotą bus 10 žmonių, antrąją 10*3, trečiąją 10*3*3 ir t.t... Taigi iš viso bus 10+10*3+10*3*3+...=10*(1+3+3²+3³+...+3³⁰)
Skliaustuose turime geometrinę progresiją, kurios suma užrašoma taip: 1*(1-3³¹)/(1-3)
Taigi turime 10*(3³¹-1)/2=5*(3³¹-1) arba tiksliau 3088366981419730. Aišku tiek žmonių Žemėje nėra, bet tiek to, sakykime, jog toks skaičius šypsenų pasklis po pasaulį

Atsakymas: 3088366981419730

Jei vertinti tai, kad žmonių viso 7mlrd, tai atsiranda toks įdomus reiškinys, kad iki 19 dienos, viso šypsenų bus 3.874.204.890, o jau tada realiai šypsenų per dieną bus tik po 7mlrd, nes visi šypsosi tik tiem, kas negavo šypsenos. Vadinasi likusias 12 dienų šypsenų bus po 7mlrd, taigi viso šypsenų bus:
3.9 mlrd. + 7 * 12 = 87.9 mlrd šypsenų.

pirma diena: 10
antra diena 10 * 3
trecia diena 10 * 3^2
ketvirta diena 10 * 3^3
.......
devyniolikta diena 10 * 3^18 = 3874204890 (apie puse pasaulio populiacijos vien ta diena)
dvidesimta diena 10 * 3^19 = 11622614670 (virsija pasaulio populiacija)
.......
trisdesimt pirma diena 10 * 3^30 = 2058911320946490 (virs dvieju kvadrilijonu)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Susumuojam visas dienas ir gaunam nesveikai dideli skaiciu: sumuot pats nesumavau, bet ivertinus logiskai koks galetu but atsakymas ir is komentaru speju kad teisingas atsakymas yra 3088366981419730
(trys kvadrilijonai, astuoniasdesimt astuoni trilijonai, trys simtai sesiasdesimt sesi bilijonai(milijardai UK sistemoje), devyni simtai astuoniasdesimt vienas milijonas, keturi simtai devyniolika tukstanciu septyni simatai trisdesimt)

Suapvalinkime Žemės populiaciją iki 7.4 miliardų (http://www.worldometers.info/world-population/ dabar rodo 7.391 miliardą)
Kadangi nusišypsoti galima tik tiems žmonėms, kuriems TĄ DIENĄ nebuvo dar nusišypsota, nuo 7
-tos dienos (įskaitant ją) galima „išdalinti“ tik po 7.4 miliardus šypsenų nes per 7-tąją dieną pasiekiamas gyvenančių žmonių limitas. Per 6 dienas bus išdalinta 10+10*3+10*3^2+10*3^3...+10*3^6=144087160 šypsenų., prie jų pridedame likusių 25 dienų šypsenas po 7.4 mlrd (25*7.400.000.000=185.000.000.000).
Sudėjus gauname 185.144.087.160 šypsenas.

Editinu, nes padariau klaidą skaičiuodamas ;D
Vis dėl to nuo 19-tosios dienos per visas dienas bus išdalintos po 7.4mlrd šypsenos, nes sudėti nereikėjo tiek anksti, kiek padariau aš.
10+10*3+10*3^2+10*3^3+...+10*3^18+13*7.400.000.000=102.011.307.320 šypsenos.
Damn.19-tą dieną dar 7.4mlrd nepasiekiama (skaičiuodamas 0-lį iš kažkur pridėjau) ;D
10+10*3+10*3^2+10*3^3+...+10*3^19+12*7.400.000.000=94611307330.

sausio 1 10 sypsenu
2d nusisypsota 10*3-10, nes galim sypsotis vakaryksciams zmonems
3d nusisypsota 20*3 minus 20 vakaryksciu kuriems galim is naujo nusisypsot
4d 40*3-40
5d 80*3-80
6 160*2
7 320*2
8 1280
9 2560
10 5120
11 10240 zodziu geometrine progresija kuri dideja 2 kartus, nes galim sypsotis tiems kurie vakar mums sypsojosi
zodziu 10 *2/29
5368709120 zmoniu

Žmonių skaičius nuolat kinta http://www.worldometers.info/world-population/ , taigi, po kurio laiko šito uždavinio atsakymas gali būti kitoks. Šiuo metu žemėje gyvena apie 7,4 mlrd žmonių.Tarkime, kad žmonės atkakliai ieško ir randa tuos,
kuriems dar nebuvo nusišypsota . Taigi sumuojame:
Diena Šypsenų
1 10
2 30
3 90
4 270
5 810
6 2430
7 7290
8 21870
9 65610
10 196830
11 590490
12 1771470
13 5314410
14 15943230
15 47829690
16 143489070
17 430467210
18 1291401630
19 3874204890
20 7400000000
21 7400000000
22 7400000000
23 7400000000
24 7400000000
25 7400000000
26 7400000000
27 7400000000
28 7400000000
29 7400000000
30 7400000000
31 7400000000
Suma 94611307330


Atsakymas: Apie 95 mlrd šypsenų.

Jei tai rangosi - tai biologija; jei tai smirdi - tai chemija; jei tai neveikia - tai fizika; o jei jūs negalite to suprasti - tai matematika | Mangus Pyke

30^31

Šį uždavinį būtų galima spręsti kaip geometrinę progresiją pagal formulę:
b[n] = b[1]q^(n-1);
b[n] - žmonių skaičius kuriems nusišypsos iš viso;
b[1] - žmonių skaičius kuriems nusišypsojo pirmą dieną;
q - šypsenų skaičius kiek turi žmonės nusišypsoti per dieną;
n - mėnesio dienų skaičius;

b[31] = 10 * 3^(31-1) = 2058911320946490;

Jei pirma diena 10 antra diena 30 o trecia jau 90 tai nepamirskite sudeti 10+30+90... =130 po 3 ju dienu o ne 90 vien pagal progresija

Pirmiausia pasiskaičiuojame, kiek pasaulyje žmonių bus 2016 m. sausio 20 d. (kodėl būtent 20 bus paaiškinta vėliau). Pagal CŽV duomenis 2011 m. spalio 31 d. pasaulyje buvo 7 mlrd. žmonių, per dieną šis skaičius vidutiniškai padidėja 203 800 žmonių. Tuomet per metus šis skaičius išauga 365*203 800=74 387 000 žmonių. Iki 2015 spalio 31 d. šis skaičius išaugs 4*74 387 000+203 800=297 751 800 (nes 2012 m. vasaris turi 29 dienas). Ir galiausiai iki 2016 m. sausio 20 d. dar priaugs 81*203 800=16 507 800. Tuomet viso bus priaugę 314259600 žmonių, tad 2016 m. sausio 20 d. pasaulyje bus 314 259 600+7 mlrd.= 7 314 259 600 žmonių.
Dabar skaičiuojame kiek šypsenų bus išdalinta:
sausio 1 d. išdalinta 10 šypsenų
sausio 2 d. 10*3, o t.y. 30 šypsenų;
sausio 3 d. 10*3*3=10*3^2, t.y. 90 šypsenų;
sausio 4 d. 10*3^3, t.y. 270 šypsenų;
sausio 5 d. 10*3^4, t.y. 810 šypsenų;
sausio 6 d. 10*3^5, t.y. 2 430 šypsenų;
sausio 7 d. 10*3^6, t.y. 7 290 šypsenų;
sausio 8 d. 10*3^7, t.y. 21 870 šypsenų;
sausio 9 d. 10*3^8, t.y. 65 610 šypsenų;
sausio 10 d. 10*3^9, t.y. 196 830 šypsenų;
sausio 11 d. 10*3^10, t.y. 590 490 šypsenų;
sausio 12 d. 10*3^11, t.y. 1 771 470 šypsenų;
sausio 13 d. 10*3^12, t.y. 5 314 410 šypsenų;
sausio 14 d. 10*3^13, t.y. 15 943 230 šypsenų;
sausio 15 d. 10*3^14, t.y. 47 829 690 šypsenų;
sausio 16 d. 10*3^15, t.y. 143 489 070 šypsenų;
sausio 17 d. 10*3^16, t.y. 430 467 210 šypsenų;
sausio 18 d. 10*3^17, t.y. 1 291 401 630 šypsenų;
sausio 19 d. 10*3^18, t.y. 3 874 204 890 šypsenų;
sausio 20 d. 10*3^19, t.y. apie 11,6 mlrd. šypsenų, o tai viršija anksčiau apskaičiuotą žmonių skaičių, tad šią dieną pridedame tik tas šypsenas kiek pasaulyje yra žmonių.
Taigi turime, kad per sausio mėnesį (konkrečiai iki sausio 20 d. ) bus išdalinta (susumuojame visas gautas šypsenas) 13 125 566 930 šypsenų.
Atsakymas pasaulį apskries 13 125 566 930 šypsenų.

Pasitaisysiu dėl garbės Nors jau ir nebesiskaito. Jei žmonių populiacija būtų nesuskaičiuojamai didesnė negu dabar, tai skaičius būtų - 3088366981419730. Bet kadangi žemėje gyvena "tik" apie 7.4 milijardo žmonių, tai pasiekus šią ribą į dieną šypsenų didėtų tik po 7.4mlrd.
Galutinis atsakymas yra 94611307330 šypsenų, anot C++.

Bet kadangi žemėje gyvena "tik" apie 7.4 milijardo žmonių, tai pasiekus šią ribą jisai nedidėtų?
O tai vienas žmogus gali nusišypsoti kelis kartus?

Uždavinys realaus sprendimo neturi

_________________
Don't worry. Jeb taught me this.